Sifat-Sifat Sistem Waktu Diskrit dan Teori Konvolusi

Dalam artikel Pengertian Sistem Kontrol Digital, saya sudah menjelaskan gambaran umum analisis sistem kontrol digital. Pendekatan yang digunakan adalah pendekatan waktu diskrit. Sehingga sistem kontrol digital sering disebut juga sistem kontrol waktu diskrit. Sebelum pembahasan tentang kontrol, saya ingin menjelaskan secara singkat tentang pengetahuan dasar sistem waktu diskrit dan teori konvolusi. Kedua materi ini wajib dipahami sebagai dasar untuk analisis sistem kontrol digital.

Catatan: dalam materi ini, saya akan lebih sering menggunakan istilah ‘sistem waktu diskrit’ daripada istilah ‘sistem digital’. Kenapa? Karena dalam materi ini sistem digital didekati dengan sistem waktu diskrit.

Kita mulai dari definisi sistem.

Sistem adalah kumpulan dari beberapa komponen yang berkolaborasi dan bersinergi untuk mencapai tujuan tertentu.

baca juga: Pengertian dan Istilah Penting dalam Sistem Kontrol

Dari definisi tersebut, bisa dikatakan bahwa hampir semua sistem mempunyai tujuan atau keluaran. Untuk menghasilkan keluaran tersebut, hampir pasti membutuhkan masukan. Tidak terkecuali sistem waktu diskrit. Sistem waktu diskrit jelas membutuhkan masukan untuk menghasilkan keluaran. Masukan dan keluaran dari sistem waktu diskrit basicly berupa sinyal digital. Untuk keperluan analisis, sinyal digital didekati dengan sinyal waktu diskrit. Yaitu sinyal hasil sampling dari sinyal analog (sinyal waktu kontinyu) dengan periode sampling tertentu.

Jika ingin mengetahui prinsip kerja dari sistem waktu diskrit, maka harus mengenal sifat-sifatnya terlebih dahulu. Apa saja sifat-sifat sistem waktu diskrit? Berikut ulasannya:

1) Kausalitas

Suatu sistem disebut kausal jika keluaran sisem pada waktu k hanya bergantung pada nilai masukan saat waktu k dan/atau sebelumnya \((x(k), x(k-1), x(k-2),…)\), dan tidak bergantung pada masukan yang akan datang \((x(k+1), x(k+2), …)\). Jika tidak memenuhi hal tersebut maka sistem disebut sistem non-kausal.

Contoh:

\(y(k)=x(k)-2x(k-1)+5x(k-2)\) (kausal)

\(y(k)=x(-k)\) (kausal)

\(y(k)=0,5x(1-k)\) (non-kausal)

2) Dengan memori atau tanpa memori

Suatu sistem disebut memoryless jika keluaran sistem hanya bergantung pada nilai input pada waktu yang sama.

Contoh:

\(y(k)=x(k)-2x(k-1)+5x(k+2)\) (with memory)

\(y(k)=x(-k)\) (with memory)

\(y(k)=0,5x(k)\) (memoryless)

3) Time-varying atau time-invariant

Suatu sistem disebut time-invariant jika pergeseran waktu pada masukan akan menyebabkan pergeseran waktu yang serupa pada keluaran. Dengan kata lain, jika suatu sistem waktu diskrit diberi masukan x(k) menghasilkan y(k), maka jika masukan yang diberikan x(k-n) maka sistem akan menghasilkan keluaran y(k-n).

Contoh:

\(y(k)=x(k)-2x(k-1)+5x(k-2)\) (time-invariant)

\(y(k)=x(-k)\) (time-invariant)

\(y(k)=0,5kx(k)\) (time-varying)

4) linieritas

Suatu sistem disebut linier jika dapat memenuhi sifat superposisi berikut:

\(G[ax_{1}(k)+bx_{2}(k)]=aG[x_{1}(k)]+bG[x_{2}(k)]\)

Contoh:

\(y(k)=x(k)-2x(k-1)+5x(k-2)\) (linier)

\(y(k)=2x(-k)\) (linier)

\(y(k)=x^{2}(k)\) (non-linier)

Seperti yang saya sebutkan di atas, saya juga akan menjelaskan tentang teori konvolusi.

Konvolusi merupakan sebuah konsep untuk membuktikan bahwa suatu sistem adalah linier dan time-invariant (Linear Time-Invariant : LTI). Dengan konvolusi, kita bisa memperoleh keluaran sistem berdasarkan masukan dan respon impulsnya.

Dalam sistem waktu diskrit, konvolusi dinyatakan secara matematis dengan operasi penjumlahan konvolusi:

Operasi penjumlahan konvolusi dapat dilakukan pada sinyal waktu diskrit dengan langkah-langkah berikut ini.

  1. Pencerminan (folding): cerminkan h(n) pada n = 0 sehingga diperoleh h(-n)
  2. Pergeseran (shifting): geser h(-n) sebesar k ke kanan jika k bernilai positif. Atau ke arah sebaliknya jika k bernilai negatif
  3. Perkalian (multiplication): kalikan x(k) dengan h(k-n) untuk memperoleh \(y_{n}(k)\)
  4. Penjumlahan (summation): Jumlahkan seluruh nilai deret \(y_{n}(k)\) untuk memperoleh y(k).

Contoh:

Diketahui respon impuls dari suatu sistem LTI adalah:

Diberi sinyal masukan:

Bagaimana respon sistem tersebut terhadap masukan ?

Respon sistem LTI dapat diperoleh dengan operasi penjumlahan konvolusi antara sinyal masukan dan respon impuls sistem.

Langkah-langkahnya:

a) Pencerminan

b) Pergeseran

Untuk k = 0

Untuk k = 1

Untuk k = 2

dan seterusnya.

c) Perkalian dan penjumlahan

Untuk k = 0:

\(x(0).h(-0)+x(1).h(-1)=(1.2)+(2.1)=4\)

Untuk k = 1:

\(x(0).h(1)+x(1).h(0)+x(2).h(-1)=(1.1)+(2.2)+(3.1)=8\)

Untuk k = 2:

\(x(0).h(2)+x(1).h(1)+x(2).h(0)+x(3).h(-1)=(1.(-1))+(2.1)+(3.2)+(1.1)=8\)

Jadi, hasil konvolusinya adalah:

Demikian penjelasan tentang sifat-sifat sistem waktu diskrit dan teori konvolusi. Semoga bermanfaat.

admin

Sederhana saja, yang penting bermakna dan bermanfaat.

You may also like...

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *