Pulse Transfer Function (Fungsi Alih Pulsa) sebagai Bentuk Fungsi Alih Sistem Waktu Diskrit

Dalam materi Persamaan Diferensial, Persamaan Beda, dan Fungsi Alih, transformasi Laplace digunakan untuk memperoleh fungsi alih dari persamaan diferensial. Fungsi alih yang diperoleh merupakan fungsi alih waktu kontinyu. Untuk mengubahnya menjadi fungsi alih waktu diskrit atau yang lebih dikenal dengan fungsi alih pulsa (pulse transfer function), diperlukan transformasi z. Hal ini berbeda jika model matematika yang digunakan adalah persamaan beda. Fungsi alih pulsa dapat diperoleh dari persamaan beda secara langsung menggunakan transformasi z.

Nah, bagaimana asal-usul dari fungsi alih pulsa terebut? Berikut ulasannya.

Pertama, kita tinjau diagram blok berikut ini.

Diagram blok sistem waktu kontinyu dengan impulse sampler
Diagram blok sistem waktu kontinyu dengan impulse sampler

Masih ingat ‘kan persamaan hasil impulse sampler x*(t) ?

Nah, dari diagram blok diatas diperoleh bahwa y(t) dapat dituliskan sebagai:

atau dapat dinyatakan dalam bentuk

Nilai keluaran y(t) pada sampling t = kT dengan k = 0, 1, 2, … adalah

Jika dilihat dengan seksama, persamaan y(kT) di atas merupakan penjumlahan konvolusi:

Karena asumsi x(t) = 0 untuk t < 0 dan g(t) = 0 untuk t , 0 sehingga x(kT-hT) = 0 untuk h > k dan g(kT-hT) = 0 untuk h > k, maka persaman di atas dapat dituliskan sebagai:

Trasnformasi z dari y(kT):

jika dimisalkan k -h = m, maka:

dengan memisahkan m dan h, diperoleh:

atau

Persaman inilah yang disebut pulse transfer function atau fungsi alih pulsa. Jika diperhatikan dengan seksama, struktur persamaan ini sama dengan fungsi alih biasa, yaitu persamaan yang menyatakan hubungan antara keluaran dan masukan. Perbedaannya terlatak pada domain. Fungsi alih pulsa menggunakan domain z.

Pengaruh impulse sampler pada pulse transfer function

Untuk menjelaskan prosedur mendapatkan pulse transfer function, mari tinjau kembali diagram blok sistem waktu kontinyu dengan masukan impulse sampler di atas. Pulse transfer function G(z) dapat dinyatakan sebagai:

Diperoleh dari mana? Berikut penurunannya:

Jika kita hitung Y*(s), maka:

atau bisa dinyatakan dalam bentuk transformasi z berikut:

Pulse transfer function untuk sistem waktu kontinyu dengan impulse sampler akan berbeda dengan pulse transfer function untuk sistem waktu kontinyu. Mari kita buktikan. Mari kita tinjau diagram blok sistem waktu kontinyu berikut:

Transfer function dari sistem waktu kontinyu di atas dapat dinyatakan sebagai:

Berbeda dengan pulse transfer function untuk sistem waktu kontinyu,

Jika menghitung Y*(s), maka:

atau dalam bentuk transformasi z:

Dari hasil ini dapat disimpulan bahwa keberadaan impulse sampler akan mempengaruhi pulse transfer function dari suatu sistem.

Untuk memperjelas kenapa GX(z) tidak sama dengan G(z)X(z), perhatikan dua diagram berikut ini:

(a)
(b)

Untuk diagram blok (a), dapat dituliskan persamaan:

Dengan menghitung U*(s) dan Y*(s), maka:

sehingga

atau dalam bentuk transformasi z:

Sehingga pulse transfer function untuk diagram blok (a) dapat dinyatakan sebagai:

Sedangkan pada diagram blok (b), diketahui:

di mana GH(s) = G(s)H(s)

Jika menghitung Y*(s), diperoleh:

atau dalam bentuk transformasi z:

Sehingga pulse transfer function untuk sistem pada diagram blok (b) adalah:

Untuk menambah pemahaman, berikut beberapa contoh soal.

Tentukan pulse transfer function Y(z)/X(z) dari sistem dengan diagram blok berikut:

(a)
(b)

Solusi:

Pada diagram blok (a), transfer function G(s) dan H(s) dipisahkan oleh sampler. Diasumsikan semua sampler sinkron dan mempunyai periode sampling yang sama. Pulse transfer function dari diagram blok ini adalah:

dengan melakukan transformasi z pada H(s) dan G(s), diperoleh:

Untuk diagram blok (b), pulse transfer function Y(z)/X(z) adalah:

Dari contoh ini jelas ya perbedaan tahapan perhitungan antara G(z)H(z) dan GH(z).

Pulse transfer function untuk sistem lup tertutup (closed loop system)

Jika sudah memahami efek impulse sampler pada pulse transfer function, maka akan mudah menemukan pulse transfer function baik itu sistem lup terbuka (open loop system) maupun sistem lup tertutup (closed loop system).

Perhatian diagram blok sistem lup tertutup di bawah ini:

sistem lup tertutup
sistem lup tertutup

Pada diagram blok di atas, sampler diletakkan setelah summing point, artinya yang di-sampling adalah sinyal error, sehingga:

Dengan mensubtitusi persamaan C(s), maka diperoleh:

Dengan menghitung E*(s), maka:

atau

Dengan menghitung C*(s), maka:

sehingga:

Dalam bentuk transformasi z:

Pulse transfer function dari sistem lup tertutup ini adalah

Untuk memudahkan dalam mendapatkan pulse transfer function, ingat 5 konfigurasi umum sistem diskrit lup tertutup berikut:

(1)
(2)
(3)
(4)
(5)

Demikian penjelasan tentang pulse transfer function sebagai fungsi alih sistem waktu diskrit. Semoga bermanfaat.

admin

Sederhana saja, yang penting bermakna dan bermanfaat.

You may also like...

2 Responses

  1. Damita says:

    Jadi untuk fungsi alih setelah melewati sampler y*(s) itu sama dengan y(z) langsung jadi dalam bentuk sinyal diskrit ?

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *