Persamaan Diferensial, Persamaan Beda dan Fungsi Alih

Salah satu komponen dalam sistem kontrol digital adalah plant/ proses. Kali ini saya akan menjelaskan model matematika plant/ proses menggunakan pendekatan persamaan differensial dan persamaan beda. Dari kedua persamaan tersebut kemudian dapat diperoleh fungsi alih.

Apa perbedaan kedua persamaan tersebut dan bagaimana cara mendapatkan fungsi alih? Berikut ulasannya.

Persamaan diferensial adalah persamaan matematika untuk fungsi satu variabel atau lebih yang menghubungkan nilai fungsi itu sendiri dan turunannya dalam berbagai orde sebuah sistem waktu kontinyu.

Contoh:

Persamaan diferensial sistem mekanik

Contoh sistem mekanik sederhana
Contoh sistem mekanik sederhana

Dari contoh sistem mekanik di atas, dapat diperoleh persamaan diferensial melalui hukum yang berlaku pada sistem tersebut. Untuk contoh ini, hukum yang berlaku adalah hukum Newton II.

Percepatan sebuah benda berbanding lurus dengan gaya total yang bekerja pada benda tersebut dan berbanding terbalik dengan massanya. Arah percepatan sama dengan arah gaya total yang bekerja padanya.

Persamaan diferensial sistem elektrik

Contoh sistem elektrik sederhana
Contoh sistem elektrik sederhana

Hukum yang berlaku pada contoh sistem elektrik di atas adalah hukum Kirchoff II.

Total beda potensial (tegangan) dalam suatu rangkaian tertutup adalah nol

Persamaan diferensial sistem elektro-mekanik

Contoh sistem elektro-mekanik (motor DC)
Contoh sistem elektro-mekanik (motor DC)

Hukum yang berlaku dalam sistem motor DC di atas adalah Kirchoff II dan Newton II (gerak rotasi).

Sudah jelas ‘kan tentang bentuk persamaan diferensial? Selanjutnya adalah penjelasan tentang persamaan beda, khususnya untuk sistem LTI (linear time-invariant).

Penjelasan tentang sistem LTI dapat dibaca di sini: Sifat-Sifat Sistem Waktu Diskrit dan Teori Konvolusi

Bentuk umum persamaan beda sistem LTI:

Persamaan beda dapat menunjukkan bahwa keluaran sistem dapat dihitung dari sinyal masukan dan keluaran sebelumnya.

Contoh:

\(y(k)=x(k)+2x(k-1)+3x(k-2)\) \(y(k-2)+2y(k-1)-y(k)=3x(k)+x(k-1)-x(k-2)\)

Lalu bagaimana dengan fungsi alih?

Fungsi alih atau transfer function adalah fungsi yang menjelaskan hubungan antara keluaran dan masukan suatu sistem.

Fungsi alih dari persamaan diferensial dapat diperoleh dengan bantuan transformasi Laplace. Masih ingat transformasi Laplace?

Fungsi alih sistem mekanik di atas:

Fungsi alih sistem elektrik di atas:

Fungsi alih sistem elektro-mekanik (motor DC) di atas:

Fungsi alih dengan bantuan transformasi Laplace tersebut merupakan bentuk fungsi alih waktu kontinyu. Untuk merubahnya ke dalam bentuk fungsi alih waktu diskrit atau yang lebih dikenal dengan fungsi alih pulsa (pulse transfer function), diperlukan transformasi z.

Untuk persamaan beda, fungsi alih dapat diperoleh langsung dalam bentuk fungsi alih pulsa dengan menggunakan transformasi z.

Pembahasan tentang transformasi z dapat dibaca di materi selanjutnya.

Demikian pembahasan tentang persamaan diferensial, persamaan beda dan fungsi alih. Semoga bermanfaat.

admin

Sederhana saja, yang penting bermakna dan bermanfaat.

You may also like...

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *