Pengertian dan Hukum Aljabar Boolean

Pengertian dan hukum aljabar boolean
Pengertian dan hukum Aljabar Boolean

ALJABAR BOOLEAN – sedikit berbeda dengan aljabar pada umumnya. Aljabar ini menggunakan bilangan biner atau bilangan basis 2 dalam hukum dan teorinya. Sehingga kemungkinan nilai variabel dan konstantanya hanya ada 2 (dua), kalau tidak 0 (nol) ya 1 (satu). Dalam pengaplikasiannya, seringkali nilai 0 (nol) dan 1 (satu) tidak diartikan secara sebenarnya. Melainkan hanya representasi dari nilai kuantitas yang sesungguhnya. Contoh, nilai 0 (nol) merepresentasikan nilai tegangan masukan dari 0 s.d. 0,8 Volt dan nilai 1 (satu) merepresentasikan nilai tegangan masukan dari 2 s.d. 5 Volt.

Oleh karena itu, nilai 0 (nol) dan 1 (satu) dalam aljabar Boolean sering disebut sebagai level logika. Level logika ini dapat digunakan untuk merepresentasikan berbagai kondisi/nilai sebuah kuantitas seperti contoh berikut ini:

Contoh level logika
Contoh level logika

Secara simbolik, aljabar Boolean ditulis dengan bentuk (Y, . , + , ¯, 0, 1) yang artinya himpunan Y memiliki anggota paling sedikit terdiri dari 2 (dua) elemen 0 (nol) dan 1 (satu). Simbol (.), (+) dan ( ¯ ) masing-masing menyatakan operasi AND (perkalian Boolean), operasi OR (penjumlahan Boolean) dan operasi NOT (komplemen).

Apa saja sifat dan hukum yang berlaku dalam aljabar Boolean?

Untuk setiap A, B dan C anggota Y berlaku:

a) Sifat tertutup

\begin{align*} A+B\in Y \end{align*} \begin{align*} A.B\in Y \end{align*}

b) Hukum komutatif

\begin{align*} A+B=B+A \end{align*} \begin{align*} A.B=B.A \end{align*}

c) Hukum asosiatif

\begin{align*} A+(B+C)=(A+B)+C \end{align*} \begin{align*} A.(B.C)=(A.B).C \end{align*}

d) Hukum distributif

\begin{align*} A(B+C)=A.B+A.C \end{align*}

e) Hukum identitas

\begin{align*} A+0=A \end{align*} \begin{align*} A+1=1 \end{align*} \begin{align*} A+A=A \end{align*} \begin{align*} A.0=0 \end{align*} \begin{align*} A.1=A \end{align*} \begin{align*} A.A=A \end{align*}

f) Hukum komplemen

\begin{align*} A+\bar{A}=\bar{A}+A=1 \end{align*} \begin{align*} A.\bar{A}=\bar{A}.A=1 \end{align*}

g) Teorema double inversion

\begin{align*} \bar{\bar{A}}=A \end{align*}

h) Teorema De Morgan

\begin{align*} \bar{A+B}=\bar{A}.\bar{B} \end{align*} \begin{align*}\bar{A.B}=\bar{A}+\bar{B} \end{align*}

i) Teorema dualitas

\begin{align*}A(B+C)=AB+AC \end{align*} \begin{align*}A+BC=(A+B)(A+C) \end{align*}

j) Teorema redundant

\begin{align*}A+AB=A\end{align*} \begin{align*}A+\bar{A}.B=A+B\end{align*} \begin{align*}A(A+B)=A\end{align*}

k) Teorema kombinasi

\begin{align*}AB+A\bar{B}=A\end{align*} \begin{align*}(A+B)(A+\bar{B})=A\end{align*}

l) Teorema konsensus

\begin{align*}AB+\bar{A}C+BC=AB+\bar{A}C\end{align*} \begin{align*}(A+B)(\bar{A}+C)(B+C)=(A+B)+(\bar{A}+C)\end{align*}

Nah, sifat dan hukum Aljabar Boolean di atas dapat digunakan untuk menyederhanakan fungsi Boolean.

Apa itu fungsi Boolean?

Fungsi Boolean adalah ekspresi yang dibentuk dari variabel atau peubah Boolean melalui operasi penjumlahan, perkalian atau komplemen untuk menyatakan keluaran yang diinginkan.

Ketiga operasi yang digunakan dalam fungsi Boolean sering disebut juga operasi logika.

Fungsi Boolean dapat dinyatakan ke dalam bentuk tabel kebenaran dan rangkaian yang kita sebut rangkaian digital. Namun, yang sering terjadi dalam pengaplikasiannya, perancangan rangkaian digital dimulai dari tabel kebenaran, kemudian fungsi Boolean. Dari fungsi Boolean ini lalu dibuat rangkaian digitalnya menggunakan gerbang logika.

Apa yang dimaksud tabel kebenaran?

Tabel kebenaran adalah tabel yang menunjukkan respon atau keluaran dari fungsi Boolean terhadap semua kombinasi masukan yang dimungkinkan.

Yang perlu diperhatikan dalam membuat tabel kebenaran adalah urutan kombinasi masukan. Berikut urutan kombinasi yang benar:

Urutan kombinasi masukan tabel kebenaran 2 variabel
Urutan kombinasi masukan pada tabel kebenaran 2 variabel
Urutan kombinasi masukan pada tabel kebenaran 3 variabel
Urutan kombinasi masukan pada tabel kebenaran 3 variabel
Urutan kombinasi masukan pada tabel kebenaran 4 variabel
Urutan kombinasi masukan pada tabel kebenaran 4 variabel

Contoh:

\begin{align*}Y=\bar{A}C+A\bar{B}\end{align*}

Fungsi Boolean di atas dapat dinyatakan dalam bentuk tabel kebenaran berikut ini:

Tabel kebenaran fungsi Boolean
Tabel kebenaran fungsi Boolean

Tabel kebenaran di atas menunjukkan nilai logika apa yang dikeluarkan oleh fungsi Boolean terhadap semua kombinasi peubah atau variabel yang diberikan. Pada contoh ini, fungsi Boolean mempunyai 3 (tiga) variabel masukan, yaitu A, B dan C. Sehingga kemungkinan kombinasi variabelnya ada 8. Dari sini bisa kita simpulkan bahwa

jumlah kombinasi variabel adalah 2jumlah variabel

Selain itu, fungsi Boolean juga dapat dinyatakan dalam bentuk rangkaian logika dengan menggunakan gerbang logika yang sudah saya jelaskan di sini: https://katakoala.com/pengertian-dan-macam-macam-gerbang-logika/

Berikut rangkaian logika dari fungsi Boolean di atas:

Rangkaian logika dari fungsi Boolean
Contoh rangkaian logika

Demikian penjelasan saya tentang pengertian dan hukum Aljabar Boolean. Semoga bermanfaat.

admin

Sederhana saja, yang penting bermakna dan bermanfaat.

You may also like...

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *