Cara Mengubah Domain dengan Transformasi Z

Kali ini saya akan menjelaskan tentang transformasi z. Transformasi ini dibutuhkan untuk mengubah domain persamaan matematika, dari domain waktu kontinyu ke domain waktu diskrit. Apa itu transformasi z dan bagaimana cara menggunakannya? Berikut ulasannya.

Transformasi z merupakan metode matematis yang diperlukan dalam desain dan analisis sistem waktu diskrit.

Notasi transformasi z:

Transformasi z

di mana T adalah periode sampling dari x(kT).

Untuk T = 1, maka:

Untuk menunjukkan bagaimana cara menggunakan transformasi z, berikut saya berikan contoh transformasi z untuk beberapa fungsi dasar:

Fungsi unit step

Dengan memasukkan fungsi unit step pada rumus transformasi z, maka diperoleh:

Hasil yang diperoleh X(z) adalah deret geometri sehingga dapat dibentuk fungsi deret geometri berikut ini:

Fungsi unit ramp

Dengan memasukkan fungsi di atas ke rumus transformasi z, diperoleh:

Hasil yang diperoleh X(z) adalah deret aritmatika sehingga diperlukan rekayasa matematis untuk mengubahnya menjadi deret geometri.

Kalikan X(z) dengan \(z^{-1}\), sehingga diperoleh:

X(z) dikurangi \(z^{-1}X(z)\), diperoleh:

Persamaan di atas sudah berbentuk deret geometri, dengan:

Dengan memasukkan dalam rumus fungsi deret geometri berikut:

Fungsi polinomial \(a^{k}\)

Dengan memasukkan fungsi di atas ke rumus transformasi z, maka diperoleh:

Fungsi eksponensial

Dengan memasukkan fungsi di atas ke dalam rumus transformasi z, diperoleh:

Fungsi sinosoidal

catatan:

Maka fungsi sinusoidal di atas dapat dinyatakan dalam bentuk:

Dengan memasukkan fungsi sinusoidal ke dalam rumus transformasi z, diperoleh:

Mudah kan menggunakan transformasi z? Cara yang lebih mudah adalah dengan melihat tabel transformasi z berikut:

Selanjutnya adalah tentang sifat dan teorema penting dalam transformasi z yang perlu dipahami. Sifat dan teorema ini akan memudahkan kita dalam melakukan transformasi z.

  1. Perkalian dengan konstanta a;
  2. Linieritas;
  3. Perkalian dengan \(a^{k}\);
  4. Teorema pergeseran waktu;
  5. Teorema translasi kompleks;
  6. Teorema nilai awal;
  7. Teorema nilai akhir;
  8. Teorema konvolusi;

(1) Perkalian dengan konstanta a

Jika X(z) adalah transformasi z dari x(t), maka:

Bukti:

(2) Linieritas

jika \(x(k)=af(k)+bg(k)\),

maka transformasi z dari x(k):

\(X(z)=aF(z)+bG(z)\)

di mana F(z) dan G(z) adalah transformasi z dari f(k) dan g(k)

Bukti:

(3) Perkalian dengan \(a^{k}\)

Jika X(z) adalah transformasi z dari x(k), maka:

Bukti:

(4) Teorema pergeseran waktu

Jika x(t) = 0 untuk t < 0 dan X(z) adalah transformasi z dari x(t), maka:

Bukti:

(5) Teorema translasi kompleks

Jika X(z) adalah transformasi z dari x(t), maka:

Bukti:

(6) Teorema nilai awal

Jika X(z) adalah transformasi z dari x(t) dan \(lim_{z\rightarrow\infty}X(z)\) memiliki nilai, maka nilai awal x(t) atau x(k) adalah:

\(x(0)=lim_{z\rightarrow\infty}X(z)\)

Bukti:

(7) Teorema nilai akhir

Jika x(k) = 0 untuk k < 0, X(z) adalah transformasi z dari x(k) dan X(z) stabil (semua pole X(z) berada di lingkaran z = 1), maka nilai akhir dari x(k) dapat dituliskan sebagai:

\(lim_{k\rightarrow\infty}x(k)=lim_{z\rightarrow1}[(1-z^{-1})X(z)]\)

Bukti:

Persamaan (1) – Persamaan (2), diperoleh:

Limit z mendekati 1:

(8) Teorema konvolusi

Jika:

maka:

Selengkapnya mengenai teori konvolusi dapat dibaca di Sifat-Sifat Sistem Waktu Diskrit dan Teori Konvolusi

Demikian penjelasan tentang cara mengubah domain dengan transformasi z. Semoga bermanfaat.

admin

Sederhana saja, yang penting bermakna dan bermanfaat.

You may also like...

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *