Cara Mengubah Domain dengan Transformasi Z

Kali ini saya akan menjelaskan tentang transformasi z. Transformasi ini dibutuhkan untuk mengubah domain persamaan matematika, dari domain waktu kontinyu ke domain waktu diskrit. Apa itu transformasi z dan bagaimana cara menggunakannya? Berikut ulasannya.

Transformasi z merupakan metode matematis yang diperlukan dalam desain dan analisis sistem waktu diskrit.

Notasi transformasi z:

di mana T adalah periode sampling dari x(kT).

Untuk T = 1, maka:

Untuk menunjukkan bagaimana cara menggunakan transformasi z, berikut saya berikan contoh transformasi z untuk beberapa fungsi dasar:

Fungsi unit step

Dengan memasukkan fungsi unit step pada rumus transformasi z, maka diperoleh:

Hasil yang diperoleh X(z) adalah deret geometri sehingga dapat dibentuk fungsi deret geometri berikut ini:

Fungsi unit ramp

Dengan memasukkan fungsi di atas ke rumus transformasi z, diperoleh:

Hasil yang diperoleh X(z) adalah deret aritmatika sehingga diperlukan rekayasa matematis untuk mengubahnya menjadi deret geometri.

Kalikan X(z) dengan \(z^{-1}\), sehingga diperoleh:

X(z) dikurangi \(z^{-1}X(z)\), diperoleh:

Persamaan di atas sudah berbentuk deret geometri, dengan:

Dengan memasukkan dalam rumus fungsi deret geometri berikut:

Fungsi polinomial \(a^{k}\)

Dengan memasukkan fungsi di atas ke rumus transformasi z, maka diperoleh:

Fungsi eksponensial

Dengan memasukkan fungsi di atas ke dalam rumus transformasi z, diperoleh:

Fungsi sinosoidal

catatan:

Maka fungsi sinusoidal di atas dapat dinyatakan dalam bentuk:

Dengan memasukkan fungsi sinusoidal ke dalam rumus transformasi z, diperoleh:

Mudah kan menggunakan transformasi z? Cara yang lebih mudah adalah dengan melihat tabel transformasi z berikut:

Selanjutnya adalah tentang sifat dan teorema penting dalam transformasi z yang perlu dipahami. Sifat dan teorema ini akan memudahkan kita dalam melakukan transformasi z.

1. Perkalian dengan konstanta a;
2. Linieritas;
3. Perkalian dengan \(a^{k}\);
4. Teorema pergeseran waktu;
5. Teorema translasi kompleks;
6. Teorema nilai awal;
7. Teorema nilai akhir;
8. Teorema konvolusi;

(1) Perkalian dengan konstanta a

Jika X(z) adalah transformasi z dari x(t), maka:

Bukti:

(2) Linieritas

jika \(x(k)=af(k)+bg(k)\),

maka transformasi z dari x(k):

\(X(z)=aF(z)+bG(z)\)

di mana F(z) dan G(z) adalah transformasi z dari f(k) dan g(k)

Bukti:

(3) Perkalian dengan \(a^{k}\)

Jika X(z) adalah transformasi z dari x(k), maka:

Bukti:

(4) Teorema pergeseran waktu

Jika x(t) = 0 untuk t < 0 dan X(z) adalah transformasi z dari x(t), maka:

Bukti:

(5) Teorema translasi kompleks

Jika X(z) adalah transformasi z dari x(t), maka:

Bukti:

(6) Teorema nilai awal

Jika X(z) adalah transformasi z dari x(t) dan \(lim_{z\rightarrow\infty}X(z)\) memiliki nilai, maka nilai awal x(t) atau x(k) adalah:

\(x(0)=lim_{z\rightarrow\infty}X(z)\)

Bukti:

(7) Teorema nilai akhir

Jika x(k) = 0 untuk k < 0, X(z) adalah transformasi z dari x(k) dan X(z) stabil (semua pole X(z) berada di lingkaran z = 1), maka nilai akhir dari x(k) dapat dituliskan sebagai:

\(lim_{k\rightarrow\infty}x(k)=lim_{z\rightarrow1}[(1-z^{-1})X(z)]\)

Bukti:

Persamaan (1) – Persamaan (2), diperoleh:

Limit z mendekati 1:

(8) Teorema konvolusi

Jika:

maka:

Selengkapnya mengenai teori konvolusi dapat dibaca di Sifat-Sifat Sistem Waktu Diskrit dan Teori Konvolusi

Demikian penjelasan tentang cara mengubah domain dengan transformasi z. Semoga bermanfaat.